Kesirlerde Bölme

 Açıklama : Bu yazı kesirlerde bölme işlemini modelleyerek kavramsal ( kesirlerde bölmenin aslında ne anlama geldiğini )  anlatmak için uzun emekler sonucu ortaya çıkmıştır .

Anlamada zorlandığınızda , biraz ara verip tekrar devam ediniz . Kavramsal bölmeyi bir kez kavradığınızda herşeyin çok daha mantıklı olduğunu göreceksiniz , yoksa klasik olarak anlatılan kesirlerde bölme işlemi için " birinci kesir aynı kalsın , ikinci kesri ters çevir çarp" şeklinde anlatım  isteyenler bu konuya bakabilir.

Uzun bir konudur , sabrınız için teşekkürler.

Kesirlerde bölmeyi kavrayabilmek için öncelikle bölme ne demek bakalım ;

Bölme Kavramı 

Bölme ;   eş gruplandırmak demektir .

Grup sayısı x Her bir gruptaki eleman sayısı= Bölünen sayı

24:6 nın anlamına bakalım :

1.Anlamı : 6 adet grup yaptığımda her bir grupta ne kadar olur ? / kaç tane gelir ?

24 adet bilyem olsun ve bu bilyeleri 6 adet kova yapıp bunların içine tek tek yerleştireyim ..

Burada en önemli şey , her bir grupta aynı sayıda/ eşit miktarda bilye bulunmak  zorundadır. Zaten "eş gruplamak" anlamı budur .

2.Anlamı : 24 ü 6 şarlı olarak grupladığımda kaç grup oluşur ? 

( 24 ün içinde kaç tane 6 vardır ? sorusunun cevabıdır )

24 bilyeyi 6şarlı olarak gruplandırdığıdıma 4 eş grup oluştu ..

Görüldüğü gibi bölmenin birbirine yakın iki anlamı vardır ya kaç gruba ayıracağınız belli olmalı, ya da bir grupta kaç tane olacağı belli olmalı ki , kaç grup elde edebileceğinizi bulabilelim .

Bölmenin temel mantığı , kesirlerde bölme için de geçerlidir . 

Kesirlerde Bölme

Tamları kesirlere bölme

Örnek   ;

$$4:\frac{2}{3}$$

4 ün içinde kaç tane $\frac{2}{3}$ var ?

Elimizde 4 tam olduğunu düşünelim ve bunu  $\frac{2}{3}$ lik gruplara ayıralım .

3 tam aldık ve $\frac{2}{5}$ lik  parçalara ayırdık , 7 tane tam  $\frac{2}{5}$ oldu , beyaz kalan yer , $\frac{2}{5}$ lik parça değil , peki beyaz olan yeri nasıl ifade edebiliriz ?

 Yanda 1 tane $\frac{2}{5}$ görüyorsuuz , ( yukarıda var ) 2 parçadan oluşmakta.

2 parça 1 tane  $\frac{2}{5}$ den oluşmakta ise , 1 parça yarım $\frac{2}{5}$ dir .  o halde toparlayalım ;

 

7 tane $\frac{2}{5}$  + yarım  $\frac{1}{2 }$  tane $\frac{2}{5}$  = $7\frac{1}{2}$  tane $\frac{2}{5}$  .

 

Sonuç  ;  $$3:\frac{2}{5}=7\frac{1}{2}$$

 

Örnek ; $$5:\frac{3}{4}$$

5 in içerisinde kaç tane $\frac{3}{4}$ var ?

5 tam alalım ve $\frac{3}{4}$ lük parçalara ayıralım .

5 tam aldık ve $\frac{3}{4}$ lük gruplara ayırdık. Şu anda 6 tane tam grup oluşturabildim . ( Renklere dikkat edin , 6 grup var ) Ve hala elimde, 2 tane beyaz renklendirilmemiş bölgem var. Buranın ne kadarlık bir grup olduğunu bulmam gerekiyor .

Biz yandaki $\frac{3}{4}$ lük parçaya 1 grup demiştik . Bir grup 3 parçadan oluşmakta.

3 parçadan oluşan bir şekil 1 grup sayılıyorsa , 2 parçadan oluşan bir grup ne kadarlık bir grup sayılmalı ?

Yukarıdaki şekil 3 parça $\frac{3}{3}$ temsil etse ,  2 parça $\frac{2}{3}$ temsil eder .

Yani ??? işareti ile gösterilen parçalar da $\frac{2}{3}$ lik bir grup .

O halde elimizde kaç grup var bakalım ;

6 tane tam $\frac{3}{4}$ + $\frac{2}{3}$ tane $\frac{3}{4}$  = $6\frac{2}{3}$ tane $\frac{3}{4}$

Sonuç ; $$5:\frac{3}{4}=6\frac{2}{3}$$

Kesirleri tamlara bölelim

$$\frac{2}{3}:4$$

Öncelikle bu bölmenin ne anlama geleceğine bakalım :

1. anlamı :  $\frac{2}{3}$ nin içinde kaç tane 4 var ?
2. anlamı :  $\frac{2}{3}$ yi 4 eş gruba ayırırsak , bir grupta kaç / ne olur ?

1.anlamı kulağa mantıksız geliyor çünkü $\frac{2}{3}$  nin içinde 4 olması imkansız .

ikinci anlama göre , $\frac{2}{3}$  yi 4 eş gruba ayırırsak , bir grupta kaç / ne olduğuna bakabiliriz.

Elinizde $\frac{2}{3}$ parçalık bir pizza olduğunu düşünün ve bunu 4 arkadaş eş olarak paylaşacaksınız .

$\frac{2}{3}$  yi düşünürsek , elimizde $\frac{1}{3}$lik parçalardan 2 tane var değil mi ?  ama biz 4 kişiyiz , o halde herkese pizza düşebilmesi için o parçaları daha da küçük parçalara ayırmamız lazım .

O halde , $\frac{2}{3}$  yi 4 eş gruba ayıralım ,

öncelikle $\frac{2}{3}$  yi oluşturalım ;

 

Şimdi $\frac{2}{3}$ yi 4 eş gruba ayırayım.

Bu gördüğünüz  parça eş gruplardan
bir tanesi . Yani bir kişiye düşecek olan parça ..
..
Peki bu parça / şekil ne kadarı
temsil ediyor ?

 

 

 

(Beyaz kesikli çizgilerle dikey olarak bölmeyi tercih ettim , siz yatay olarak da bölebilirsiniz, hatta daha kolaydır .)

Kesirlerin Temel kuralı : Bir şeyi kesir olarak ifade edebilmemiz için bütünün eş
parçalarından biri olması gerekir .

o halde bütünü eş parçalara ayıralım :

( Dikkat ! , yukarıdaki yaptığımız gruplamada sadece sarı olan bölge eş parçalara ayrılmıştı , şimdi beyaz olan yerler de eş parçalara ayrıldı ki , yukarıdaki yaptığımız gruplamanın , bütünün tamamının kaçta kaçına denk geldiğini bulabilelim )

 

 

 

 

Bir bütün 12 eş parçaya ayrılmış oldu . Benim amacım bir grubun ( yani 2 parçanın ) kaçta kaça denk geldiğini bulabilmek.

12 eş parçada 2 parça o halde sonuç ;

$$\frac{2}{3}:4=\frac{2}{12}$$

 

Örnek ;  $$\frac{3}{5}:3$$

Bölmenin anlamına bakalım ;

$\frac{3}{5}$ ü 3 eş gruba ayırırsak bir grupta kaç / ne olur ?

Daha önce birim kesirleri iyi öğrendiyseniz bunu mantıksal olarak hemen yapabilirsiniz .

$\frac{3}{5}$ kesri , 3 tane $\frac{1}{5}$ lerden oluşmuştur .

$$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$$

o halde sonuç $\frac{1}{5}$ dir.

Bir kez de modelleyerek gösterelim ;

 

$\frac{3}{5}$ 3 eş gruba ayrılınca her bir grup otomatikman, $\frac{1}{5}$ i  temsil etmiş oldu.

Örnek ;

$$\frac{3}{5}:5$$

Anlamı : $\frac{3}{5}$ ü 5 eş gruba ayırırsam kaç / ne elde ederim ?

Öncelikle $\frac{3}{5}$  ü gösterelim ;

Taralı olan kısmı 5 eş parçaya ayıralım ,

( kesikli çizgilerle dikey olarak ayırdım )

Gruplara ayırayım ;

Kesirlerin Temel kuralı : Bir şeyi kesir olarak ifade edebilmemiz için bütünün eş
parçalarından biri olması gerekir .

o halde komple bütünü eş parçalara ayırayım ;

Bütünüm 25 eş parçaya bölünmüş oldu , grubumda ise 3 tane parça var

o halde sonuç ;  $$\frac{3}{5}:5=\frac{3}{25}$$

Kesirleri , kesirlere bölme

$$\frac{1}{2}:\frac{1}{4}$$

Öncelikle ne anlama gelebileceğine bakalım ,

$\frac{1}{2}$ nin içinde kaç tane $\frac{1}{4}$ var ?

$\frac{1}{2}$ yi $\frac{1}{4}$ lük gruplara ayırmam lazım .

Öncelikle $\frac{1}{2}$ oluşturayım

$\frac{1}{2}$ içerisinde 2 tane $\frac{1}{4}$ var .

Sonuç 2

Örnek ;

$$\frac{3}{4}:\frac{2}{5}$$

Öncelikle işlemin ne anlama geldiğine bakalım ;

1. Anlamı :$\frac{3}{4}$ içerisinde kaç / ne kadar $\frac{2}{5}$ var  ?
2. Anlamı :$\frac{3}{4}$ ü her bir grupta $\frac{2}{5}$ olacak şekilde ayırdığımda kaç grup elde ederim ?

Daha kolay gruplandırma için birim kesirleri eşleyelim , nedeni aynı cinse getirmeliyim ki gruplandırabileyim , Bir

çuvalın içinde elmalarla armutlar olsun , bunları nasıl gruplandırabilirsiniz ? Eğer sadece elmalar olsaydı

örneğin ;3 er 3 er ya da 5 er 5 er gruplandırabilirdim. Eşledikten sonra neden eşlediğimi daha kolay anlayacaksınız.

( Bu kısmı anlatmakta zorluk çektiğimin farkındayım , daha iyi bir açıklama üzerinde çalışıyorum )

$$\frac{3}{4}.\frac{5}{5}=\frac{15}{20}=15-tane-\frac{1}{20}$$

$$\frac{2}{5}.\frac{4}{4}=\frac{8}{20}=8-tane-\frac{1}{20}$$

Birim kesirleri $\frac{1}{20}$ de eşledik .  Şimdi bölme işlemimiz şu hale geldi ;

$$\frac{15}{20}:\frac{8}{20}=$$

• $\frac{15}{20}$ içerisinde kaç tane $\frac{8}{20}$ vardır ?
• $\frac{15}{20}$ i $\frac{8}{20}$ lik gruplara ayırdığımda kaç grup elde ederim ?

2.sinden devam edelim ,  yani $\frac{15}{20}$ i $\frac{8}{20}$ lik gruplara ayırdığımda kaç / ne kadar grup olduğuna bakmalıyım .

Elimde 15 tane $\frac{1}{20}$ var ve bunları , 8 erli gruplara ayırmalıyım .

1 tam grup oluşturabildim ( siyah olan )  ama 2.grup ( pembe ) tam oluşmadı .

Her grup , 8 tane parçadan oluşuyor , 2.grupta 7 parça var , eğer 8 parça olsaydı 2.grubum tam olarak oluşacaktı ,

o  halde buna ne demeliyim ?

8 parça 1 grup ise , 1 parça $\frac{1}{8}$ lik bir gruptur , 7 parça ise $\frac{7}{8}$ lik bir grup olur .

1 tam grup ve $\frac{7}{8}$ lik bir grubum var . o halde sonuç ;

$$1\frac{7}{8}$$

$$\frac{3}{4}:\frac{10}{6}$$

 

Öncelikle birim kesirleri eşleyelim ki , daha kolay gruplandırabilelim .

$$\frac{3}{4}.\frac{6}{6}=\frac{18}{24}$$

$$\frac{10}{6}.\frac{4}{4}=\frac{40}{24}$$

Birim kesirleri $\frac{1}{24}$: de eşledik .

işlem şu hale geldi ;

$$\frac{18}{24}:\frac{40}{24}$$

Ne anlama gelir ?

• $\frac{18}{24}$ de kaç tane $\frac{40}{24}$ var ?
• $\frac{18}{24}$ i $\frac{40}{24}$ lık gruplara ayırdığımda kaç grup elde ederim ?

Hemen şunu diyebilirsiniz , iyi de $\frac{18}{24}$ in içinde $\frac{40}{24}$ yokki . $\frac{40}{24}$ daha büyük bir kesir . Aslında haklısınız .

Şöyle , $\frac{18}{24}$ in içinde $\frac{40}{24}$ bir tam olarak yok .

Yani daha 1 grup oluşturamıyorsunuz. o halde bulacağınız sonuç mutlaka 1 den küçük bir sonuç olmalı öyle değil mi?

Elimizde parça uzunlukları $\frac{1}{24}$ olan 18 tane parçacık olsun , bunların 40 tanesi bir grup ediyor .

Amacımız 18 tanesinin kaç / ne kadar grup ettiğini bulabilmek.

Her bir parçayı $\frac{1}{40}$ lik bir grup olarak alabiliriz , 40 tane $\frac{1}{40}$ yani $\frac{40}{40}$ 1 tam grup yapar .

o halde 18 tane $\frac{1}{40}$ , $\frac{18}{40}$ lik bir grup yapar .

o halde sonuç ;

$$\frac{3}{4}:\frac{10}{6}=\frac{18}{40}$$

 

Bu anlatımı pdf şeklinde indirebilirsin 

Tüm matematik pdf anlatımları için tıkla